수학자 능지원탑 갈루아에 대해 알아보자

현대수학사의 1티어 떡밥인 갈루아에 대해 알아보자
중학교 지식만 알고있으면 쉽게 읽을수 있을 거임

갈루아는 1811년에 태어나서 1832년에 사망한 프랑스 공화주의자야.
아버지의 정치적 성향때문에 자기도 정치운동에 관여하게된 케이스인데..
자신의 수학 논문이 학회에 받아들여지지 않거나 죽기 직전에 데스매치 내기가 걸려온 것도 다 네임드 공화주의자인 자신을 죽이기 위한 계략이라 생각했다고한다.

갈루아가 존나 유명한건 어린 나이에 업적을 냈다던지

당시 최고난제를 풀었다던지같은 뻔한 이유때문이 아니라
수학을 연구하는 방식 자체에 있어서 탈인간적인 방법을 선보였기 때문이다.

갈루아의 첫번째 혁신 ㅡ 작도 문제

학교다닐 때 한번쯤 해봤을 컴퍼스 작도...
그런데 어떤 도형이 작도가능한지 yes or no로 대답할 수 있는 기준을 찾는게

고대 그리스부터 전해내려온 탑티어 난제였다.
게이들은 어떤 식으로 접근하겠노?

갈루아의 답을 보기전에 한번 일게이들의 능지를 발휘해보는 것도 좋다.

갈루아의 방법은 우리가 학교에서 배우는 중등수학을 이용하는 것!
정다각형이나 원을 작도한다는 것은 결국 좌표평면 위에

원점 (0,0)과 점 (1,0)이 있으면 거기서 자랑 컴퍼스를 이용해 직선과 직선,

직선과 원, 원과 원의 교점을 구한다는 것인데 

중학생이나 고등학생때 배웠다시피

직선과 직선의 교점을 구하는 방정식은 일차방정식이고, 직선과 원, 원과 원의 교점은 이차방정식으로 나온다.

근데 일차방정식은 사칙연산으로, 이차방정식은 제곱근을 쓰는 근의 공식으로 풀 수 있지않노?

따라서, 작도로 얻어진 새로운 점의 좌표는

기존의 좌표에서 사칙연산과 제곱근만을 써서 나온다라는 사실을 알 수 있다 이기야

갈루아의 이론에 따르면 작도라는 것은 이렇게 볼 수 있다.
1. 유리수와 같이 사칙연산이 가능한 것을 '체'라고 정의한다.
2. 작도를 묘사하는, 유리수를 해로 갖는 적당한 방정식을 생각하자.
3. 제곱근을 반복할거니깐, 체에서 2의 거듭제곱을 조낸 반복한 2^k를 생각하자.
4. 이를 체의 확장이라 정의했을 때 차수가 2^k가 아닌 작도 과정들은 중간에 실패할 것이다!
(눈치빠른 게이들은 이 2^k가 콜라츠 추측 3n+1=2^k와 관련있다는걸 느꼈을거다이기..)

사실 이런 2차방정식으로의 분해를 이용한 풀이는 갈루아가 처음이 아니라

그보다 한 30년 전에 가우스가 20살 때 밝혀낸 방법임
그니깐 작도 문제 자체가 사실 가우스 캐리라고 볼수있다이기야!
근데 뒤에 내용이랑 관련있어서 일단 갈루아 방법도 적었다이기

갈루아의 두번째 혁신 ㅡ 황금비, 무한, 이진법

중학생 때 배운 무리수는 실수 중에서 유리수가 아닌 것으로 정의됐을거다. 
그런데 실제로는 짤처럼 연분수라는 반복 과정이 있어서,

이 연분수가 무한히 이어지면 무리수, 유한번 반복해서 끝나면 유리수로 정의할 수 있다.

18살의 갈루아가 연구한 것은 이 때 연분수에 등장하는 코드가

짤처럼 12161216.. 11111111(황금비)같이 반복되는 경우인데
이러한 연분수는 (1+√5)/2 따위의 제곱근을 포함한 수로 나타낼 수 있다는게 알려져 있다.

그런데 갈루아는 이러한 주기적 연분수에는 항상 코드의 '대칭성'이 있다는 것을 발견한것임 
예를들어 (1+√5)/2의 12345678이 반복되는 코드가 있고 그 켤레인 87654321 꼴의 코드가 (1-√5)/2로 나오면
이 둘을 적당히 조합한 2345678...87654322로 √5가 나타내어진다는걸 보였음(그냥 예시임)

근데 이게 왜 중요하냐?

그것은 바로 연분수의 숫자 변환이 복소수 좌표계에서 '모듈러 변환'이라고 불리는 것과 일치하기 때문이다!
이 모듈러 변환이 어디에 쓰이느냐!
ㅡ암흑물질로 유명한 끈 이론의 액시온
ㅡ페르마의 대정리(=모든 복소수 타원곡선 방정식은 모듈러 변환을 갖는 방정식으로부터 유도된다)
ㅡ특수상대성이론의 좌표변환
어마무시하盧?

 

이런 반복 코드를 갖는 연분수와 제곱근 형태의 무리수에는 1대1 대응이 있다고 했는데
이게 왜 중요한거시냐..? 이 제곱근 무리수가 이진법으로 근사되는 수이기 때문임
컴퓨터는 0이랑 1밖에 없으니깐 실수값을 구할 때 이진법을 존나 반복해서 숫자를 근사해야하는데.. 이 제곱근 무리수는 그 이진법의 반복과 관련이있음 

더 나아가 이러한 연분수 자체가 컴퓨터의 '재귀적 알고리즘'을 정의하고, 일게이들이 잘아는 P-NP문제의 'P'의 정의이자, 앨런 튜링의 '결정론적 기계'에 대한 정의이기도하며,
마지막으로, 프랙탈/황금비/피보나치 수의 이론이 된다

(죽기 전 날 유언장 수십 페이지를 자기 수학연구로 채우는 그 심정이 어땠을지 상상도 안가노)

갈루아의 세번째 혁신 ㅡ 고차 방정식의 일반해와 리만가설

이차방정식의 근의 공식은 제곱근으로 나오고, 이걸 아까 작도 문제에서 요긴하게 썼다
그런데 5차방정식도 사칙연산이랑 제곱근만으로 해를 구할 수 있는지가 당시 수학계 난제였다
왜냐면 3차방정식, 4차방정식의 근의공식은 어떻게든 구했는데 차수가 높아질수록 그 풀이가 조낸 길어지고,

5차방정식은 당시 수준의 짜깁기 수학으로는 뭘 어떻게해도 답이 안나왔기 때문

그런데 문제를 다시 읽어보자
'사칙연산', '제곱근'만으로 해를 표현할 수 있는가?
아까 본 작도문제와 비슷한 방식으로 풀 수 있을 것 같다고 느껴진다면 정답임

갈루아는 이를 그냥 작도문제랑 똑같은 방식으로 풀어버린다
a로 된 4차방정식이 있다고치자..
그럼 그 a를 다른 미지수 b+1/b 따위로 치환함으로써 a에 대한 원래 방정식을 b에 대한 방정식으로 바꿨을 때
이게 2차방정식을 여러번 곱한걸로 분해될 수 있다면
2차방정식이 사칙연산과 제곱근만으로 풀수있으므로 문제는 참이 된다

근데 모든 고차방정식이 미지수를 치환한다고해서 2차방정식으로 분해되는 대칭성을 갖는게 아니므로 일반적인 해는 없다고 유추할 수 있다. 갈루아는 이걸 구체적인 이론으로 정립해서 논문을 냈던 것

그런데 이게 1970년대에, 한 수학자가 발표한 리만가설의 증명 구조와 연관되면서 재조명된다

갈루아의 미지수 치환이 여러개 가능하다할때, 
그 치환이 가해진 방정식이 2차방정식으로 쪼개져야 수학적으로 좋은거라 하지않았노?

그럼 결국 방정식에 대한 치환의 차수가 2의 거듭제곱, 제곱근으로 나타나야 좋은거고
이는 미지수 x에 대해 √x=x^1/2을 생각하게 만드는데
리만 제타함수처럼 x를 복소수로 확장했다고치면 그 절댓값인ㅣx^1/2+0.5534..iㅣ로 볼 수 있고
실제로 리만 제타함수의 근을 대수적으로 변형시키면 저런 꼴로 나온다는게 20세기에 밝혀졌다.

물론 실제 리만가설의 증명에는 비퇴화 이차 형식이라는 일종의 선형대수 이론이 쓰이는데
이 개념도 사실 제곱근이랑 관련이있다

사실 제곱근의 중요성을 처음으로 인지한건 가우스로, 가우스가 작도 문제랑 정수론(이차 상호법칙)에서 먼저씀
그래서 동시대에 살았던 가우스와 갈루아는 사실 연구스타일 측면에서 접점이 많은편인데..
가우스는 갈루아가 보낸 논문을 무시했다고한다 왜냐면 당시에 자기가 난제풀었다고 편지보내는 미친놈들이 하루에도 수십명이었기 때문,, 미쳐버린 가우스는 갈루아의 논문만 특별 대우해줄수는 없었다고한다

그런데 가우스도 갈루아처럼 굉장히 불행한 삶을 살았다.
자식들과의 관계가 안 좋은 편이었고
말년에 자기 삶이 불행했다고 손자에게 털어놓을 정도였으며, 수학도 젊을 때에 잠깐한거지 나이먹고는 거의 전자기학, 천문학자로 살았음

가우스의 주요 업적을 꼽자면 복소수를 이용해 정수론 난제들을 푼 것(갈루아가 푼 문제들은 가우스의 방식으로도 풀 수 있음), 20세기 특수 상대성이론의 핵심인 쌍곡기하학의 개념을 최초로 만들었지만 미발표(쌍곡기하학에서 가장 중요한 좌표변환이 가우스의 첫 논문과 관련이 있음) 정도가 있는데

가우스랑 갈루아가 괜히 천재 탑티어로 꼽히는게 아니라는걸 알 수 있다
오일러랑 가우스가 라이벌 구도로 가끔 나오는데, 오일러는 해석학자고 가우스는 대수학자 및 기하학자에 가까웠는데다 가우스의 방식들이 훨씬 천재적이었음

(물론 가우스와 오일러의 서로 다른 복소수 표현 중 물리학에서 자주 쓰이는건 오일러쪽)

아무튼 이런 씹천재 갈루아가 22살에 총맞아서 뒤졌다는 것 자체가 정말 경악스럽지않盧?
그것도 총싸움에 나서게 된 계기가 자기인생 잘안풀려서 운명이라 생각하고 어차피 죽을거알고 나간거였다
정신적 의지처였던 아버지도 자살하고 논문은 아무도 안받아주고 매번 감옥에갇히고 의지할 곳이 아무도 없었다고한다

 

 

 

출처: 수학자 능지원탑, 갈루아에 대해 알아보자.araboza

 

 

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